函数的概念

函数 = 定义域 + 对应法则

有界函数、无界函数

有界函数，定义一：

• 设 ,
• 常数 , 都有 ​​
• 称 是 上的有界函数

有界函数，定义二：

• 设 ,
• ​ 常数 ​, ​ 都有 ​​​
• 称 ​ 是 ​ 上的有界函数

引申概念：

• 上界
• 下界
• 有上界函数
• 有下界函数
• 上确界 (微积分不要求掌握)
• 下确界 (微积分不要求掌握)

做题思路：证明函数有界

如果题目没说定义域，那么定义域是让函数有意义的全体实数。

如果使用定义二来解题，常用到这个绝对值不等式：​.

常用到一些中学的不等式：

• • ​
  • 令 ，​
• 若 .
  • 当且仅当 时，两边相等
  • 这个公式叫做：算数平均值不小于几何平均值

例题1

问：请证明

答：

• 证得 有界

例题2

问：请证明 ​​​​ 有界

答：

• 证得 有界

TIP

用到了中学数学知识：​​